La spirale d'Ulam devrait commencer à 0.

A) Histoire et légende de la spirale d'Ulam

Stanislaw Ulam Le mathématicien Ulam a donné son nom à une spirale. Lors d'une conférence auquelle il participa en tant que spectateur, le conférencier ou bien son sujet ne passionna pas Ulam tant et si bien que ce dernier se mit à griffoner sur sa feuille. Il écrivit "1" puis l'entoura d'un carré. Il fît "2", puis "3", etc...

Ulam eut le premier la surprise de découvrir qu'une spirale aussi basique puisse aligner certains nombres premiers. Les nombres premiers sont un véritable casse-tête depuis plus de XXVI siècle pour les férus des nombres.

La spirale d'Ulam fut dès lors la représentation officielle du problème des nombres premiers en représentation 2D. Encore aujourd'hui... la spirale d'Ulam est remplie de mystères.

Il existe d'autres spirales mettant en avant l'organisation des nombres premiers sans pour autant nous permettre de résoudre le problème mathématique. Nous resterons présentement sur la spirale d'Ulam.



B) La spirale d'Ulam qui commence par 1.

La spirale d'Ulam comme définit par Ulam commence par le nombre 1.

J'ai programmé la spirale à ma guise. C'est la même chose que sur Wikipedia à rotation et symétrie près...

En jaune, c'est le centre de la spirale. En bleu, ce sont les nombres premiers. En vert, ce sont les nombres non premiers. J'ai choisi le sens horaire.





Spirale d'Ulam de centre 1 (en jaune).
Apparition d'alignements de nombres premiers (en bleu).



C) La spirale d'Ulam qui commence par 0.

La spirale d'Ulam revisitée par bibi qui commence par le nombre 0.

En rouge, c'est le centre de la spirale. En bleu, ce sont les nombres premiers. En vert, ce sont les nombres non premiers. C'est toujours le sens horaire.



Constat : Ça ne change pas grand chose. On est tous OK ?
En fait, à part au tout départ, tout semble (à peu près) identique.





Spirale d'Ulam de centre 1 (en jaune).
Apparition d'alignements de nombres premiers (en bleu).



D) Comparaison des 2 spirales selon les multiples de 3.

Oublions momentanément les nombres premiers. Nous allons comparer les 2 spirales en fonction des multiples de 3. Bon, ok, 3 c'est le 2ème nombre premier...

En bleu, ce sont les multiples de 3. En vert, les non multiples de 3. En jaune, le centre pour la spirale qui commence à 1. En rouge, le centre pour la spirale qui commence par 0.

Spirale d'Ulam de centre 0 (en rouge).

Spirale d'Ulam de centre 1 (en jaune).

1) Critère esthétique : Normalement, ce n'est pas un critère. Cependant, si on parle de beauté dans les maths, je la retrouve plus facilement dans la spirale de centre 0.
2) Critère du nombre 3 : 0 peut être considéré comme un multiple de 3. On peut donc remplacer le rouge par du bleu sur la spirale de centre 0. On obtient donc un centre qui part dans 3 directions : ouest, nord et est. Je dirai qu'il y a cohérence entre le nombre 3 et ce qu'on voit !
3) Critère cartésien : Elle est un peu facile celle-là, mais normalement le centre d'un repère cartésien c'est le point (0,0). La spirale de centre 0 est plus propre, on voit beaucoup mieux les axes abcisse et ordonnée.
4) Critère de translation et de rotation : Il me semble que c'est plus rotatif avec la spirale 0 (voir plus bas).



Nous allons maintenant repasser ces 5 critères avec la magie de javascript. ^^


1) Critère esthétique :

Spirale d'Ulam de centre 0.

Spirale d'Ulam de centre 1.




2) Critère du nombre 3 :

Spirale d'Ulam de centre 0.

Spirale d'Ulam de centre 1.




3) Critère cartésien
On remarque que la spirale de centre 0 a des axes plus alignés que la spirale de centre 1.

Spirale d'Ulam de centre 0.

Spirale d'Ulam de centre 1.




4) Critère de translation et de rotation
Dans les 2 spirales :
la partie bleue (Nord-Est) et la partie noire (Sud-Ouest) sont identiques à rotation près.
la partie mauve (Nord-Ouest) et la partie jaune (Sud-Est) sont identiques à rotation près.
Les parties blanches dans les 2 spirales peuvent être morcelés pour augmenter les propriétés.

Spirale d'Ulam de centre 0.

Spirale d'Ulam de centre 1.




5) Autres remarques
On voit que dans la spirale de centre 0 chaque élément vertical rejoint un élément horizontal. Ce n'est pas le cas pour la spirale de centre 1.
En revanche, dans la spirale de centre 1, chaque bloc de deux carrés bien alignés ne touchera jamais par la diagonale un autre bloc de deux carrés alignés.

Il y a cependant une propriété que possède seulement la spirale de centre 0. C'est l'encastrement. En effet, dans la spirale de centre 0, la partie jaune peut s'encastrer avec le blanc ou le noir. Dans la spirale de centre 1, la partie jaune peut s'encastrer avec la partie bleue mais ne peut pas s'encastrer avec la partie noire.




CONCLUSION
C'est chacun qui voit s'il préfère commencer par 1 ou 0 la spirale d'Ulam.
Je préfère quand même commencer par 0 en fonction des "arguments" que j'ai cité.



E) Petite animation de la spirale d'Ulam qui commence par 0.

Merci de m'avoir lu. Voici une petite animation.

Spirale d'Ulam de centre 0, animation de 1 à 99.